– Vannak tudományterületek, mint a lézerfizika vagy a molekuláris biológia, amelyekben rá sem lehet ismerni a 40-50 évvel korábban tanultakra. A geometria is megújult?

– Az euklideszi geometriának többezer éves hagyománya van, az a geometria, amire a középiskolából a legtöbben emlékeznek, nemigen változott a görögök óta. Ilyen klasszikus problémákkal ma már kevesebbet foglalkoznak a kutató matematikusok, mert sok mindent ki lehet számolni géppel, és a legtöbb dolog egyébként is ismert. Itt, a Bolyai Intézetben mindenképp érdemes megemlíteni, hogy a hiperbolikus geometria is már 200 éves – nem éppen mai felfedezés. A geometria azonban él, fejlődik, nincs lezárva. Manapság a kutatásban a magas dimenziós kérdések, illetve a véges geometriák vizsgálatát mondanám „divatosnak”. De nagyon intenzíven kutatott terület még az analitikus konvexitás, a diszkrét és kombinatorikus geometria, vagy éppen az algebrai geometria, ami határterület, és pont azért érdekes, mert a geometria vizuális intuícióit algebrai eredményekre tudták használni. Hosszan lehetne még folytatni a sort.

– A Bolyai Intézet idei Pi-napi konferenciáján az ön előadása arról szólt, hogy az elemi geometriai feladatokat is meg lehet oldani számítógéppel, de egyik-másik nem is olyan könnyű…

– Az elemi geometriai problémákból nehéz feladatokat lehet kitűzni viszonylag kevés előismeretre támaszkodva. Ezek tehát nem azért nehezek, mert több tíz évet kell hozzájuk tanulni, hogy megértsük a mögötte lévő elméletet, hanem mert a megoldás sokszor egyedi ötletet igényel. Az elemi geometria ugyanis intuitív, alkalmas arra, hogy a gyerekek megszeressék vele a matematikát, mert rajzolgatva, tapasztalatból ismerik. A nehéz elemi geometriai feladatok viszont jártasságot, ügyességet igényelnek, cserében pedig kiválóan fejlesztik a problémamegoldó készséget. Az elemi geometria kicsit olyan a matematikatanulásban, mint amikor a katonákat kiképzéskor átzavarják a deszkafalon. A harcmezőn ritkán fordul elő, hogy egy katonának egy odaépített deszkafalon kell fölmásznia, de a gyakorlat megerősíti az állóképességet, az ügyességet, edzi a kitartást. És én azt remélem, hogy az elemi geometriát izgalmasabbnak találják a fiatalok, mint a katonák a deszkafalat…

Dr. Vígh Viktor, az SZTE TTIK Bolyai Intézet Geometriai Tanszékének docense. Fotó: Kovács-Jerney Ádám

– Euklidész óta hozzászoktunk, hogy a geometria absztrakt, elszakadt a földméréstől és más a praktikus problémáktól. Most olyan idők vannak, amikor visszatér a hasznosíthatósághoz?

– Nehéz kérdés, már az is, hogy egyáltalán fölmerül-e a hasznosítás. Van, aki azt mondja, a tiszta matematikának megvan a maga „belső logikája”. Egy kutatónak elég, ha valami érdekes a rendszer belső logikája szerint. És akkor foglalkozni kell vele, aztán vagy rögtön jó lesz valamire, vagy csak később. Amikor például a fizikusoknak kell egy matematikai eszköz, rendszerint kiderül, hogy a matematikusok már 50-100 évvel korábban megtalálták azt, éppen a rendszer belső logikájából fakadóan. Einstein maga mondta, hogy könnyű dolga volt a relativitáselmélettel, mert a Riemann-féle differenciálgeometria már ott volt neki készen. Van persze egy haszonelvű irány is, amely akkor tekinti hitelesnek a matematikát, ha rögtön lehet alkalmazni, vagyis azok az értékes matematikai eredmények, amelyeknek látszik a társadalmi haszna. Én nem foglalnék állást, szerintem mindkét álláspontnak megvan a maga létjogosultsága.

– Említette a matematika belső logikáját. Ez nem változik?

– Csak filozofálgatás szintjén tudok válaszolni. Szokták mondani matematikai eredményekre jelzőként, hogy „mély”. Ezek többnyire távolinak tűnő területek között teremtenek kapcsolatot, és sok absztrakt fogalmat kell tudni ahhoz, hogy egyáltalán valami elképzelésünk lehessen arról, hogy az adott tétel mit mond. Világos, hogy ezek az eredmények általában nehezen alkalmazhatók, hiszen azok a gyakorlati szakemberek, akik hasznosítják a matematikát, nem valószínű, hogy ezeket megértik. Ezért – az előző kérdésre visszakötve – azt gondolom, hogy kicsit hatással van a modern világ elvárása a matematikára, és manapság inkább „széltében” fejlődik, és előtérbe kerültek bizonyos határterületek, ahol még nem kell nagyon bonyolult fogalomrendszerrel dolgozni.

– Önök a Bolyai Intézetben sztochasztikus geometriával, vagyis a véletlen struktúrák geometriájával foglalkoznak. Milyen alkalmazhatóságot kínál egy véletlen forma?

– Ez egy elméleti terület, de azért vannak gyakorlati kutatási irányai is, például Domokos Gábor a BME-n kimondottan a geometria morfológiai és egyéb alkalmazásaival foglalkozik, megfigyelt jelenségeket próbálnak geometriai eszközökkel leírni. Természetes vagy emberi folyamatok eredményeként létrejött érdekes geometriai mintákat fedeznek fel. A sztochasztikus geometriában olyan mértani objektumokat vizsgálunk, amik kialakulásában valamilyen szerepet játszik a véletlen. Kiválaszthatunk véletlenszerűen pontokat, vagy felvehetünk síkokat, és azokból geometriai metszéssel vagy konvex burokképzéssel alakulnak ki a vizsgált alakzatok. Aztán néha kiderül, hogy egy-egy természetes formának egy geométer már 200 éve fölfedezte a modelljét. Sok olyan természetes folyamat van, amelyeket nagyon jól lehet a véletlen eszközeivel leírni, mondjuk egy sziklafalon képződő repedések, vagy – egy nem geometriai jellegű példaként – bizonyos társadalmi változások.

– Nézzünk meg egy ilyen véletlen geometriai feladatot!

– Talán a legegyszerűbb, ha veszünk egy nagyon béna darts játékost, aki teljesen össze-vissza eldobál száz nyilat a táblára. A végén megnézzük a 100 nyilat, és kívülről rájuk feszítünk egy gumiszalagot. Hány nyílra fog feszülni a gumiszalag? Ez egy tipikus véletlen geometriai objektum: a véletlen poligon egy körben. A darts tábla egy kör, és teljesen egyenletesen, össze-vissza dobálunk, így a nyilak véletlen pontoknak felelnek meg a körben, és ezeknek vesszük a konvex burkát, amikor a gumiszalagot ráfeszítjük. A geometria azt mondja, hogy akár 100 csúcsa is lehet a poligonnak, ha éppen a kör szélét dobáljuk körbe, de az is előfordulhat, hogy csak három lesz neki, és e két véglet között bármi megtörténhet. Hogy a kísérletet sokszor megismételve átlagosan mennyi csúcs lesz, az például egy érdekes kérdés.

Fotó: Kovács-Jerney Ádám

– Egy matematikai problémával mennyi időt tölt el? Van matematikus, aki éveket mond.

– Attól függ, hogy milyen jellegű a feladat. Vannak problémák, amelyeknél tudjuk, mit akarunk tenni, csak dolgozni, számolni kell rajta, vagyis a részleteket a helyükre rakni. Ilyen az, amikor korábbi kutatást viszünk tovább; tudjuk, hogy át kell egy kicsit bütykölni, hogy működjön, és persze ezzel el fog azért telni jó pár hónap. Viszont van olyan jellegű kutatás is, amelyben fogalmunk sincs előre, mit csináljunk. Sokszor, amikor nulláról esünk neki, eleinte sokat olvasgatva próbáljuk összegyűjteni az információkat. Ez hosszadalmasabb lehet. De nekem még nem volt olyan problémám, amelybe éveken át be lettem volna ragadva.

– De létezhet ilyen probléma a geometriában?

– Vannak, akik ezt csinálják, de a 21. századi tudomány elvárásai közepette, a publikációs kényszer miatt ez kicsit nehézkes. Nem tud az ember éveket föláldozni egy olyan projektre, ami esetleg semmivel sem kecsegtet. Ezt csak nagyon nagy sztárok engedhetik meg maguknak.

– Az előbb a bütykölés szót használta, kicsit úgy hangzott, mintha matematikában is lennének no-brain problémák, amelyeken igazából nem is kell gondolkozni, csak kitartóan menni valamerre.

– Kell gondolkozni, de fontos, hogy milyen nehéz új ötlet kell valamihez. Ha a nagy ötlet megvan, fölgyújtja a lámpát. De van olyan feladat, amikor a precíz számolás szükséges, közben gondolkodni kell ugyan, de nincsenek világmegváltó ötletek a tervben, csak kisebb technikai dolgok, amiket tisztességesen végig kell számolni. Hasonló, mint amikor otthon fiókot akarok barkácsolni a műhelyben, és skiccelgetem a tervét, csak annál sokkal komplexebb.

– A ceruza és a vonalzó még mindig a geometriával foglalkozó matematikus eszközei?

– Igen, én akkor is szeretek rajzolni, ha ezt egyébként nem igényli a probléma. Vizuális típus vagyok, mindent lerajzolok, amit tudok. Persze most már azért sok mindent számítógépen rajzolunk meg. Van, amikor egy kicsi vázlat, egy egészen egyszerű ábra világít rá valamire, és ehhez fölösleges is megnyitni a számítógépet.

– Hogyan látja a mesterséges intelligencia szerepét a geometriai problémák megoldásában?

– Én „terminátorhívő” vagyok, az az igazság. Nem látom azt az akadályt, ami meg fogja állítani a mesterséges intelligenciát. Említette a Pi-napi előadást, abban is utaltam rá, hogy a gép problémamegoldó képessége mára elérte egy ügyes 16-17 évesét, és bizonyos speciális területeken már egészen hatékony. Ezzel a rohamos fejlődéssel a gép 10-20 éven belül lekörözheti a legjobb kutatókat is. Vannak mindenféle teóriák arról, hogy létezik valamiféle „küszöb”, amely megállítja a biológiai evolúciót, de az emberiség valahogy véletlenül átjutott ezen, és ezért nem találkozunk más intelligens létformákkal. Ezzel párhuzamba állítva talán a mesterséges intelligencia is egyszer csak beleütközik egy plafonba, amit egyelőre nem látunk, és ott elakad. De én őszintén szólva nem nagyon hiszek ebben.

Fotó: Kovács-Jerney Ádám

– A Bolyai Intézet folyosóján egy tárlóban láthatók az ön által gyűjtött vagy készített logikai játékok. Látom, az asztalán is van jópár. Szenvedélye?

– Matektanár édesapámtól ragadt rám az érdeklődés; ifjúkoromban ő az 1970-80-as évek trafikokban kapható logikai játékait kezdte gyűjteni. Volt 20-30 darab, amiket ő összegyűjtögetett, én pedig szerettem velük játszani. Amikor posztdoktorként kimentem Kanadába, ebéd után bejártunk egy könyvesboltba a campuson. Egy polc tele volt logikai játékokkal, szemeztem, szemeztem velük, aztán vettem egyet, majd még egyet, és aztán ott elszabadult a dolog. Elkezdtem gyűjteni őket, sőt, visszafertőztem apukámat is, neki most már szerintem több van, mint nekem, ő jobban ráér, és barkácsol is. Ezek a játékok különben matematikai problémákat is rejtenek. Arról a képakasztó játékról ott, cikket is írtam már, bár kiderült, hogy a legnehezebb kérdést, amelyet felvetett, 10 évvel korábban már leírták a topológusok. Ők persze nem tudták, hogy ez egy játékként is ismert, a topológiában saját jogon fölmerült a kérdés.

– Mi ebben a játék?

– Dr. Smile rendelőjében két szögre van felakasztva egy kép a falra. Az a különleges tulajdonsága, hogy bármelyik szöget kihúzzuk a falból, leesik a kép. De fel lehet-e akasztani így egy képet? Meg lehet kérdezni úgy is, hogy mi van akkor, ha 7 szögre kell felakasztanom a képet, úgy, hogy a 7-ből bármelyiket kihúzva leessen. Fel lehet tenni úgy is a kérdést, hogy 7 szögem van, és azt akarom, hogy legalább hármat kihúzva essen le, egyébként pedig ne. Szóval, nagyon nehezeket is lehet kérdezni, egészen mély topológia jön elő belőle, algoritmusok, kombinatorika, nagyon sok fajta matematikát lehet rajta bemutatni.

– A matematikai szakfolyóiratokban meglepődnek, ha egy kutató játékkal kapcsolatos problémával áll elő?

– A matematikusok szeretik a játékkal kapcsolatos problémákat. Mégis kevesen foglalkoznak vele, mert nehéz olyan kapcsolódó problémát mondani, ami igazán beleillik az elméleti matematika fősodrába. A játékokat nem olyan könnyű matematikailag modellezni, kellenek hozzá a jó fogalmak, és ha meg is van a leírás, sokszor nem könnyű kezelni. A képakasztó játék kivételes, ott tudtunk olyat kérdezni, ami matematikailag nagyon érdekes és megoldható – később ugye kiderült, hogy a topológusok maguktól is azt kérdezték.

– Egy rajzot látok a jegyzeteiben, milyen problémát vázolt benne?

– 6-8-12, akárhány egyforma részre tudom vágni ezt a körlapot sugarakkal, ez világos, ahogy a pizzát szokás feldarabolni. Egy szórakoztató feladvány az, hogy a körlemezt vágjuk egybevágó, egyforma darabokra úgy, hogy legyen olyan darab, amelyik még a határán sem tartalmazza a középpontot. Az előző módszerünk erre nem jó. De van egy olyan megfelelő fölvágása a körlapnak, amelyikben vannak „külső” darabok, amik nem tartalmazzák a középpontot. Ennek kapcsán a kör lehetséges egybevágó darabokra vágásainak karakterizálásán kezdtünk dolgozni. Kiderült, hogy van egy nevesített probléma is, ami már az 1990-es években bekerült a diszkrét geometria problémagyűjteménybe. A Stein-probléma azt kérdezi, fel lehet-e vágni a körlemezt egybevágó darabokra úgy, hogy az egyik darab belsejében legyen a középpont. Ez a kérdés azóta is nyitott.

– A jegyzeteiben nem kell féltenie egy megoldást?

– Erről jut eszembe, az egyik ördöglakatos konferencia alatt két szerző könyvet írt az új játékokról, és az egyik leghíresebb tervező jegyzetfüzetéből kilesték egy játék tervezetét. Jól fog mutatni, gondolták, a könyvükben, hogy van egy ilyen új játék a híres tervezőtől; belerakták hát a könyvbe a megoldással együtt. Megjelent a könyv, a játékgyártók megvették, és elkezdték az új játékot gyártani belőle. Ekkor azonban egyre többen jöttek, hogy ezt a játékot nem lehet megoldani. Volt hozzá megoldás megadva, de az nem működött. A tervező ugyanis csak leskiccelte magának az ötletet, de még nem volt kidolgozva, amikor ellopták. A kiadott játék valóban megoldhatatlan volt. Erről a játékról például jó cikket írtak egy elég neves matematikai újságban. Matematikailag az egész attól vált érdekessé, hogy egzaktul be lehet bizonyítani: nem lehet megoldani.

Logikai játékok az SZTE Bolyai Intézet folyosóján. Fotó: Kovács-Jerney Ádám

– Diákkoromban a líceumban alig vártuk, hogy Marosvásárhelyen megjelenjen a magyar nyelvű matematikai folyóirat az új versenyfeladatokkal. Ön feladatokat ír a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokba – érzékel ilyen várakozást?

– Ez az egyik szívprojektem most már lassan tíz éve. A KöMaL világszinten unikum a maga több mint 130 éves történetével. Ott is érezni azért az általános trendet, hogy a hagyományos feladatokkal egyre kevésbé foglalkoznak a diákok, de a több száz lelkes feladatmegoldóért azonban érdemes csinálni. A szerkesztőbizottságban a legkiválóbb gimnáziumokból vannak tanárok, akik számos feladatuk között azt is biztosítják, hogy semmiképp ne veszítsük el a diákokkal a kapcsolatot, és a gimnáziumi ismeretanyaghoz illeszkedően legyenek kitűzve a példák. Mi, matematikusok pedig próbálunk időnként a kutatásainkban előbukkanó problémákat is becsempészni.

– A Bolyai Intézetben már szinte szlogen, hogy a matematika menő, vagyis már ciki azt mondani, hogy „hülye vagyok a matematikához”. Mit gondol, tényleg így van?

– Én azt látom, hogy Magyarországon az oktatási rendszer és a társadalmi hozzáállás is eltolódott a humán ismeretek felé. Az érettségin a három fő tárgyból kettő humán. Volt szerencsém Vitray Tamástól élőben hallani, ahogy elmesélte, majdnem megbukott matekból érettségin, de a médiából számtalan hasonló példát hozhatunk. Próbálná egy ismert ember a fordítottját mondani, hogy nem nagyon szereti Csokonait vagy Adyt, akkor mindenki megrovóan nézne. Szóval, valóban jó volna, ha a matematika is menő lenne. Talán egy kicsit javult a helyzet, de még nem érzem, hogy ide eljutottunk. A tanárképzés és az egész pedagógustársadalom megbecsültsége most egy kicsit növekedett, de jó lenne, ha ez a folyamat nem állna le. Hosszú távon az a megoldás, hogy jól felkészült, elhivatott pedagógusok érik el, hogy a matematika tényleg menő legyen.

Panek Sándor

A borítóképen: Dr. Vígh Viktor, az SZTE TTIK Bolyai Intézet Geometriai Tanszékének docense. Fotó: Kovács-Jerney Ádám